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X に要素 x を加えたときに、平均がmのままであれば下記が成り立つのはわかるのですが・・・
要素数が十分に大きい場合にもなりたつはず、ということで、平均はmとしてd'の計算をするんですかねー
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解いてみました。まず、元の集合を X すると、
d^2 = {(X1 - m)^2 + ... + (Xn - m)^2}/n
X に要素 x を加えたとき、
d'^2 = {(X1 - m)^2 + ... + (Xn - m)^2 + (x - m)^2}/(n + 1)
ここで、d >= d' となる条件は、 d^2 - d'^2 >= 0 である。
d^2 - d'^2 >= 0
(X1 - m)^2 + ... + (Xn - m)^2 - n(x - m)^2 >= 0
{(X1 - m)^2 + ... + (Xn - m)^2}/n >= (x - m)^2
d^2 >= (x - m)^2
d >= |x - m|
つまり、d >= d' となるのは m - d <= x <= m + d のとき。
よって D
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